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La geometria da Euclide alle rivoluzioni moderne (parte prima)

La geometria, com’è noto anche dalla etimologia, nasce come misurazione della terra. Dall’approccio empirico, se vogliamo pratico, con il reale, la geometria passava poi ad una trattazione[...]



La geometria, com’è noto anche dalla etimologia, nasce come misurazione della terra. Dall’approccio empirico, se vogliamo pratico, con il reale, la geometria passava poi ad una trattazione astratto-algebrica; questo passaggio era possibile solo nel momento in cui si aveva a che fare con gruppi isomorfi, ossia con gruppi che avendo la stessa struttura erano trattabili allo stesso modo. In altre parole, l’insieme e l’operazione propri del gruppo “algebricamente astratto” erano “immagine” del gruppo rappresentato dalla figura geometrica, e viceversa.
Questa reciprocità fra due gruppi è possibile solo se questi sono in relazione biunivoca fra loro, e se il rapporto fra le loro operazioni è commutativo.
La geometria euclidea, pilastro inamovibile della cultura scientifico-matematica, sembra vacillare, paradossalmente, nella sua stessa definizione; infatti essa non è volta alla misurazione della terra, come è noto sferica, ma si rivolge esclusivamente ad una superficie bidimensionale, da subito astratta, senza che passi attraverso la trattazione algebrica.
Paradossalmente, sembra che la geometria euclidea non sia di questo mondo; la trattazione di geometrie alternative (che poi tanto alternative non sono, dato che sono più vicine esse all’essenza stessa della geometria che non quella euclidea) è un traguardo propiamente otto/novecentesco; ma i mostri sacri della nostra epoca sicuramente avrebbero trovato maggiori difficoltà se non avessero goduto dell’eredità di grandi menti del passato, primo fra tutti Girolamo Saccheri, matematico del ‘600. Non posso soffermarmi troppo su questa celebre personalità né sulle sue scoperte rivoluzionarie, dirò solo che la sua fondamentale intuizione fu la scoperta che tutti noi agiamo su un piano sferico, ed agendo in esso, non è concepibile più nessun tipo di parallelismo; ad essere messo in questione per primo è quindi il quinto postulato di Euclide, ma la stessa retta sembra soffrire di queste considerazioni: su una sfera, dati due punti A e B, la distanza minore fra i due non è una retta, bensì un segmento appartente ad un cerchio massimo, e per essi passano più di una sola retta.
Anche al seguito delle scoperte di Carl Friedrich Gauss, ci si rese conto che la linea più breve tra due punti di una curvatura non è la retta, bensì la geodesiche, ossia il cerchio massimo passante per i due punti (questo fu determinante poi per lo studio delle traiettorie dei voli aerei). I teoremi della geometria euclidea (da Talete a Pitagora) si basano su postulati che vengono messi in discussione appena si operi su altri piani che non siani quello euclideo (la somma degli angoli interni di un triangolo può non essere uguale a 180°, le rette sono cerchi massimi…).

I primi imbarazzi e perplessità che sorgono al primo approccio con la geometria non-euclidea è legata alle definizioni. Come possiamo ancora parlare di angoli, rette, parallele e triangoli equilateri, se ci troviamo in un immaginario radicalmente diverso rispetto a quello nel quale abbiamo sempre agito? E ancora, cosa ne facciamo di Euclide e della sua geometria? Ci sembra assurdo definire Euclide un ingenuo, e d’altronde non riusciremmo mai a sbarazzarci del tutto delle sue teorie, anche perché in quel caso sbaglieremmo. D’altronde, nelle scuole si continua ad insegnare la geometria euclidea, e noi ancora oggi facciamo valere le sue propietà fondamentali. Infatti, alcuni postulati ed assiomi vengono accettati da noi anche se il processo di dimostrazione è infinito (Kurt Gödel sconvolse la logica asserendo che la matematica e la logica non sono interamente dimostrabili), e questo è dovuto alla nostra esperienza. Euclide viene accettato perché dimostra, in ogni nostro operare sensibile ed “istantaneo”, la sua legittimità. Sembra quasi che l’esperienza accetti Euclide, mentre la nostra teorizzazione (neanche troppo astratta, perché stiamo parlando della sfericità della terra!) lo rinneghi.

Parte seconda