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La geometria da Euclide alle rivoluzioni moderne (parte seconda)

Questo nodo problematico ha direttamente a che vedere col nostro modo di percepire il mondo; la nostra maniera di relazionarci al reale è infatti euclidea. A livello percettivo, la geometria piana è[...]



Questo nodo problematico ha direttamente a che vedere col nostro modo di percepire il mondo; la nostra maniera di relazionarci al reale è infatti euclidea. A livello percettivo, la geometria piana è compatibile sulla sfera nel “piccolo”, ma se fossimi grandi come il pianeta, avremmo esperienza della sua sfericità e sarebbe impossibile fare della geometria euclidea.
Stiamo altalenando fra due poli inconciliabili: l’astrazione ed il reale. Abbiamo detto che la geometria nasce forte del suo operare nel reale, e che sembrasse perdere tale forza con la sua nascita stessa, a causa di quell’Euclide che non teneva conto della sfericità della terra. Arrivato l’Ottocento, è sembrato che la geometria si riappropiasse della sua etimologia; eppure abbiamo appena detto che noi continuiamo a vedere “euclidamente”, e la nostra esperienza è prettamente euclidea. Sembrerebbe perciò che ad essere astratta sia la nuova geometria, ed avrebbe avuto sempre ragione Euclide.

La stessa retta è indefinibile una volta per tutte, perché si riferisce ad un piano infinito (da questo punto di vista, il principio di parallelismo sembra indebolirsi nello stesso piano euclideo, dove due curve possono tendere asintoticamente all’infinito senza incontrarsi mai, restando perciò parallele).
La definizone di retta è possibile a partire dal concetto di distanza, ed il concetto di distanza subentra perché le definizoni di rette e punti sono troppo evanescenti. Per geometrie diverse, valgono distanze diverse, ma il concetto di distanza in ogni geometria si avvale di queste propietà, pur ribattezzandosi col termine di metrica in taluni casi.

Neanche la nostra immaginazione potrà riuscire a esprimere come sarebbe il nostro vivere se la superficie della terra fosse conica o cilindrica. Certo, è invece possibile riflettere su una questione già introdotta precedentemente: la sfericità della terra in rapporto col nostro percepire euclideo. Questa problematica, affrontata da Gauss e Lobacevskij in primis, assume la denominazione di LOCALE-GLOBALE.
Noi non avremmo mai un’informazione globale del nostro pianeta, ma possiamo muoverci solamente con osservazioni a livello locale; ci sono casi in cui, facendo ipotesi nel locale, possiamo esprimere il globale. Noi abbiamo una percezione localmente euclidea del mondo. Come possiamo perciò dimostrare propietà geometriche non-euclidee nel locale? L’unica soluzione possibile è la costruzione di modelli, in base a leggi di “incollamento” volte a trasformare il piano.
Il cilindro ed il cono sono localmente euclidei. A partire da tale osservazione locale e possibile instituire un rapporto con la superficie totale. La relazione di equivalenza ci serva appunto a questo: attraverso esperienze e osservazioni nel locale, possiamo conoscere il globale e le propietà del nostro pianeta (piano sferico-ellittico) o di “qualsiasi altro pianeta”, fino dove è consentito dalle nostra facoltà mentali.