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Potere di risoluzione e apertura numerica di una lente

Definiamo l'apertura numerica NA di un sistema ottico

Per un sistema ottico definiamo apertura numerica NA, una quantità pari al seno del semi angolo formato dal cono immagine nel piano oggetto moltiplicato per l’indice di rifrazione n dello spazio oggetto stesso. Per rendere più semplice tale definizione, apparentemente complicata, consideriamo l’immagine in figura 1:

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Figura 1 Calcolo del potere risolutivo di una lente. LL’ dimensione della lente; AA’ dimesione del diaframma di apertura. La scala grafica è 1:100, cioè la distanza OM’ è 100 volte più grande di LL’

In tale figura l’angolo u, determinato dai raggi estremi che partendo dall’oggetto M intersecano la lente LL’, è proprio il semi angolo formato dal cono immagine nel piano oggetto. Quindi secondo la nostra definizione avremo:

NA = n sen u

ora se supponiamo che il sistema ottico sia in aria potremo porre n = 1 e quindi derivare:

NA = sen u

Utilizzando tale definizione possiamo giungere ad una formula per determinare la distanza minima affinché due punti M ed N possano essere risolti.

Abbiamo visto che ogni oggetto illuminato proietterà sul piano immagine una propria figura di diffrazione.

Secondo il criterio di Rayleigh affinché due oggetti possano essere visti come separati è necessario che i centri delle rispettive figure di diffrazione distino di una distanza maggiore rispetto al raggio del primo anello di diffrazione scuro che racchiude l’immagine di uno dei due oggetti.

Servendoci della figura 1, utilizzando semplici relazioni trigonometriche e supponendo gli angoli sufficientemente piccoli, tali cioè da giustificare l’approssimazione sen x @ x, è possibile giungere alla seguente definizione per la minima distanza W che un sistema ottico è in grado di risolvere:

W = K1 (l/n sen u) e W = K1 l/NA

Per quanto concerne la costante K1, nella approssimazione di Rayleigh, che considera due sorgenti puntiformi incoerenti, è pari a 0.61 nel caso di luce incidente ortogonale al reticolo mentre nel caso di luce angolata è pari a 0.5. In realtà tale costante dipende dalle aberrazioni del sistema ottico, dalle condizioni di illuminazione e da molti altre variabili.

Da questa espressione possiamo notare che per aumentare il potere di risoluzione di un sistema ottico possiamo agire in tre diverse maniere:

1. Riducendo la lunghezza d’onda della luce

2. Aumentando l’apertura numerica NA del sistema

3. Riducendo il valore della costante K1

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