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Il m. di Eulero consiste nel costruire una tabella di valori
, uniformemente distribuiti nel dominio di integrazione
[t0,tf] attraverso l’uso della seguente formula:

dove

Interpretazione
grafica del metodo di Eulero

Il metodo viene
anche chiamato metodo della tangente, dato che è il coefficiente angolare della retta tangente alla
soluzione in . In realtà, il metodo consiste nello spostarsi lungo
la tangente a partire dal punto fino a
.
Seguendo la notazione
della figura, il primo valore calcolato è dato da

mentre il secondo
è dato da

Da notare che
stavolta è . Ciò implica che, a meno che non sia
, l’errore globale non è uguale alla somma degli errori
locali.
L’errore globale
può crescere con il procedere della soluzione; il suo valore assoluto è dato
per definizione da

ed è, come si
vede, limitato dalla somma dei valori assoluti degli errori di arrotondamento
e di troncamento.
Maggiorazioni
e stime dell’errore per il metodo di Eulero
Se la soluzione ha derivata seconda continua in un intorno di
(e ciò è vero se
ed
sono continue) allora, sviluppando in serie di Taylor
intorno a , si ha:

dove . Combinando con la formula del metodo si ha

e, se la soluzione
al passo n è priva di errori, ossia , l’e. di troncamento locale è

.

L’e. di troncamento
locale sarà maggiorato da dove
nel dominio di integrazione.
L’e. di troncamento
globale può essere maggiorato osservando che, dopo n passi, esso sarà
al massimo pari a , e cioè, se il passo è costante e perciò
, a
. Ciò significa che, per il metodo di Eulero, l’errore
locale e globale sono rispettivamente del secondo e del primo ordine in .
Maggiorazioni
a posteriori
La conoscenza
di un maggiorante per l’errore globale, sebbene in genere sia una valutazione
eccessivamente prudente, rappresenta l’unica garanzia certa della qualità di
una soluzione numerica. Se si possiedono informazioni sulla soluzione esatta,
è possibile determinare un maggiorante più vicino all’estremo superiore. Per
esempio, dato il problema

nell’intervallo , sia
la soluzione; sarà quindi
, e
. Dalla espressione per l’errore locale trovata in precedenza,

.

Un maggiorante
per è quindi

La valutazione
del maggiorante si riduce quindi alla conoscenza di un maggiorante della soluzione
nell’intervallo di integrazione. In questo esempio illustrativo la soluzione
è ovviamente , maggiorata da
in
, perciò

Questa rappresenta
una maggiorazione a posteriori poiché richiede il possesso di informazioni
sulla soluzione.
Maggiorazioni
a priori
In generale, è
possibile ricavare un’espressione di maggiorazione a priori, ossia dalla conoscenza
della sola f, osservando che

e da questa relazione
risalire ad un maggiorante di e di qui all’errore.
Stime dell’errore

È possibile ottenere
approssimazioni migliori delle dimensioni dell’errore per mezzo di stime dell’errore
(di solito date da espressioni funzionali che approssimano l’errore per ) — ma non si può essere certi che l’errore sia inferiore
alla stima.
Stime dell’errore
sono adoperate nei metodi di controllo del passo di integrazione. Un modo semplice
di farsi un’idea dell’errore è quella di eseguire il calcolo più volte per diversi
valori del passo: l’approssimazione della soluzione non sarà migliore della
differenza tra le due soluzioni così calcolate.
Stabilità del
metodo di Eulero
Dalla definizione
di errore di troncamento si ha

.

Se è Lipschitziana il secondo membro può essere maggiorato come segue:

e, ricorsivamente,

.

Se il problema
è dato sull’intervallo (a,b), per una integrazione a passo costante
è t=(b-a)/M dove M è il numero totale
di punti, e siccome

,

si ha, per M molto
grande:

dove C
è indipendente da Dt . L’errore finale è un multiplo limitato di quello
iniziale e dunque il metodo è stabile secondo la prima definizione data. Tuttavia
la stabilità da verificare ai fini pratici è quella assoluta, per la quale si
ha

e pertanto la
regione di stabilità assoluta è

La stabilità assoluta
non garantisce ancora che la soluzione non abbia un andamento indebitamente
oscillante; per ottenere ciò bisogna che lo schema sia positivo, e la condizione
relativa è ancora più restrittiva.

Regione di
stabilità assoluta, metodo: Eulero esplicito (forward)

Il metodo di
Eulero: forward e backward
Il metodo di Eulero
descritto fin qui è detto esplicito o forward per distinguerlo
da quello implicito o backward:

Per implicito
si intende uno schema in cui il secondo membro dipende dai valori ancora incogniti
della variabile indipendente. Gli schemi impliciti richiedono più calcoli degli
espliciti, ma offrono in genere migliori caratteristiche di stabilità. In questo
caso, ad esempio, con riferimento all’equazione test, l’errore evolve secondo

e perciò la regione
di stabilità assoluta è

.

Regione di
stabilità assoluta, metodo: Eulero implicito (backward)

Di
seguito è riportato il codice in fortran 90 per l’integrazione di
una equazione differenziale ordinaria con il metodo di Eulero.

program main
!Programma in fortran 90 per l’integrazione di una
!equazione differenziale ordinaria con il metodo di Eulero
real :: a= 1.0, b= 2.0, x=-4.0, h, t, f
integer :: n= 100, k

function f(t,x)
real, intent(in)::x, t
f = 1.0 + x*x + t**3
end function f