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Strutture Algebriche: definizioni generali

Un gruppo (G,*) consiste di un insieme G con operazione binaria * su G che soddisfa i tre assiomi: associatività, esistenza dell’elemento identità, esistenza dell’elemento inverso. Se poi gode della proprietà commutativa il gruppo G è abeliano. Un gruppo G è finito se |G|, e il numero degli elementi è detto ordine. Un gruppo G è ciclico se c’è un elemento tale che per ogni c’è un intero i che .Tale elemento è detto generatore di G.
Un anello (R, +, * ) è un gruppo abeliano con due operazioni binarie arbitrarie, addizione (+) e moltiplicazione (*) che soddisfano i seguenti assiomi. (R, + ) deve essere un gruppo abeliano con elemento identità 0. La moltiplicazione deve essere associativa e distributiva sull’addizione, con elemento identità 1 (diverso da 0), e se gode anche della proprietà commutativa, l’anello è commutativo. Un esempio di anello è l’insiemi degli interi modulo N per qualsiasi N.
Un campo invece è un anello commutativo in cui tutti gli elementi diversi da zero hanno inversi moltiplicativi. Ad esempio l’insieme degli interi modulo P con P primo.
Un campo di Galois modulo p, denominato GF(p), è composto dall’aritmetica modulo p, con p primo.
Un anello polinomiale è così definito: se R è un anello commutativo, allora un polinomio nell’incognita x sull’anello R è un’espressione del genere:
f(x) =anxn+ _ _ _+ a2 x 2 + a1 x + a0 (dove aiR e n0)