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Risolvere velocemente equazioni in una incognita

Come risolvere equazioni in una incognita di qualsiasi ordine e grado con MSN Search

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equazione di primo grado;
equazione di secondo grado;
equazione di terzo grado
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Commenti dei lettori

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  • umberto esposito

    18 Jan 2010 - 16:57 - #1
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    Segnalo il seguente fondamentale articolo EQUAZIONI ALGEBRICHE GENERALI DI GRADO n (intero finito) 1 RISOLUZIONE COL METODO DEGLI INTERVALLI DI GALLO.
    Sia (En) anx^n+ an-1x^(n-1)+……+a1x +a0 = 0 l’equazione generale di grado n (intero finito) 1, con ai (i=0,…,n) reali non nulli (interi, razionali o irrazionali). Se definiamo Intervallo di Gallo relativo alla (En) l’intervallo IGn=[r, s] di estremo inferiore r e di estremo superiore s, con r ed s (reali) tali che r = (-a0/a1)^(1/n) ed s = (-a0)^ (1/n), essendo r un valore per difetto ed s un valore per eccesso , rispettivamente di (a0/a1)^(1/n) e di a0^ (1/n), allora è possibile risolvere (senza usare le formule risolutive delle equazioni generali o complete di gradi n=1, 2 o le formule di Cardano (n=3) o di Ferrari (n=4) ) con il cosiddetto Metodo degli intervalli di Gallo ( detto anche Metodo delle Forche Caudine di Gallo) non solo equazioni di grado n=1,2,3,4, ma anche ogni altra equazione generale di grado n (finito)>4. In generale se la (En) ammette soluzioni intere (o razionali), esse sono deducibili dal confronto degli Intervalli di Gallo IGn con i fattori interi del termine noto Tn=a0 della (En). Se, eventualmente an≠0, la (En) ammette soluzioni razionali occorre considerare anche gli Intervalli di Gallo I’Gn=[r’, s’]=[r/an, s/an]. Se n è pari ed a0 >0, allora si considerano i valori assoluti dei radicandi di r e di s. Per non appesantire la trattazione abbiamo preferito omettere eventuali indici agli estremi r,s,r’,s’ degli Intervalli di Gallo, cosa che invece abbaimo fatto relativamente agli stessi intervalli e alle soluzioni della (En) ad essi associate.Il Metodo degli Intervalli di Gallo, con alcuni accorgimenti, si applica anche nei casi in cui le soluzioni della (En) sono reali (irrazionali) o complesse.
    Nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina), vengono trattati casi delle equazioni algebriche generali di gradi n=1, 2, 3,4, 5,6 e viene fornita almeno una soluzione reale immediata (soluzione algebrica di Gallo associata ad una misteriosa formula generale di Gallo non riportata dall’Autore) delle equazioni algebriche generali di grado n=6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Qui , per brevità, riportiamo la trattazione dei casi n=1,2,3,4,5 ( a soluzioni intere o razionali) fondata sul Metodo degli Intervalli di Gallo.
    Caso n=1 Sia da risolvere la(E1) 3x- 7= 0. Poiché IG=[r, s]= [7/3, 7] l’unica soluzione della (E1) è data da x=7/3 =r, contenuta in IG . Caso n=2 Sia da risolvere la (E2) x^2- 7x +12= 0. Poiché IG=[r, s]= [√ (12/7), √12]= [1, 4] ( dove r è un valore per difetto ed s un valore per eccesso degli estrimi di IG) la prima soluzione della (E2) è x1=4=s e abbassando di grado la (E2) otteniamo l’equazione di primo grado (E1) x-3=0 per cui x2=3 è la seconda soluzione della (E2). Entrambe le soluzioni sono contenute in IG. Caso n=3 Sia da risolvere la (E3) x^3- 61x^2+ 1151x -6851 = 0. Poiché IG= [4, 19], essendo 6851= 1*13*17*31, la prima soluzione della (E3) è x1= 17 (prossima ad s=19), per cui, abbassando di grado la (E3) otteniamo l’equazione di secondo grado (E2) x^2-44x +403=0 per la quale si ha IG=[3, 21], con x2=13 seconda soluzione della (E3), contenuta in IG . Abbassando di grado la (E2) otteniamo infine la (E1) 13 x-31=0 alla quale resta associato l’intervallo di Gallo IG=[ 31/13; 31], cioè x3=31, terza soluzione della (E3), che coincide con l’estremo superio s di IG . Le soluzioni della (E3) sono x1= 17 , x2=13 , x3=31. Caso n=4 Sia da risolvere la (E4) 17 x^4- 479x^3+ 4351x^2 -13129x +218 = 0. Poiché IG= [3, 7] oppure[3/17, 7/17] (poiché il coefficiente di x^4 è ora diverso da 1) essendo 2184=1*3*7*8*13, la prima soluzione della (E4) è x1=7.Abbassando di grado la (E4) otteniamo l’equazione di terzo grado(E3) x^3-360x^2 +1831x -312=0 per la quale si ha IG=[3, 7] oppure [3/17, 7/17]: Si vede subito che x2=3/17=r è la seconda soluzione della (E4), contenuta in IG=[3/17, 7/17], in quanto coincidente con r=3/17. Abbassando di grado la (E3) otteniamo la (E2) 17x^2-357 x +1768=0 per la quale si ha IG=[10, 43] nel quale cade la terza soluzione della (E4) data da x3=13 . Abbassando infine di grado la (E2) otteniamo la (E1) 17x-136=0 alla quale resta associato l’intervallo di Gallo IG==[136/7, 136]= =[8, 136] La quarta soluzione della (E4) x4=8 coincide con l’estremo inferiore r=8 di IG. Le soluzioni della (E4) sono pertanto x1= 17 , x2=3/17 , x3=13 ed x4=8 . Caso n=5 Sia da risolvere l’equazione algebrica completa di quinto grado (E5) 17 x^5- 1057x^4+20637 x^3-161063 x^2 +448570x- 74256 = 0. Poiché IG5= [5, 10] oppureIG’5= [5/17, 10/17], risultando T5=74256= 1*3*7*8*13*34 si ha che x1=7 (più prossima di 8 ad r) è la quinta soluzione di (E5). Abbassando di grado la (E5) otteniamo l’equazione di quarto grado (E4) 17x^4-938x^3 +14071x^2 -62566x +10608=0 per la quale si ha IG4=[4, 11] oppure I’G4= [4/17, 11/17]: Si vede subito che 8 è il fattore di T5 contenuto in IG4 più prossimo ad s =11 che ad r=4 , per cui x2=8 è la quarta soluzione della (E5), Abbassando di grado la (E4) otteniamo la (E3) 17x^3-802 x^2 +7655x -1326=0 per la quale si ha IG3=[4, 11] oppureI’G3= [4/17, 11/17] . Non soddisfacendo la (E3)il fattore 3 di T6, la terza soluzione, di (E5) è x3=13 (x3 è esterna ad IG3), prossima ad s=11. Abbassando di grado la (E3) otteniamo la (E2) 17x^2-581x +102=0 alla quale restano associati gli intervalli di Gallo IG2=[2, 11] oppureI’G2= [2/17, 11/17]. La quarta soluzione della (E5) è x2=3/17 (composto dal fattore 3 di T5 e dal denominatore a5=17) prossimo ad r’=2/17. Abbassando infine di grado la (E2)otteniamo la (E1) 17x-578=0 per cui IG1==[578/17, 578] =[34, 578]. La prima soluzione di (E5) è x1=34=r. Le soluzioni della (E5) sono pertanto x1= 34 , x2=3/17 , x3=13, x4=8 ed x5=7.

  • umberto esposito

    28 Feb 2010 - 08:52 - #2
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  • annamaria

    12 Mar 2010 - 18:01 - #3
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    per favore fatemi quest’equazione mi serve entro oggi..vi prego!!!

    12x-9+4x-7-10x=4x+2

    vi pregoooooo!!!!