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Equazioni Algebr. di grado qualsiasi e Parabola di P.Siviglia

Due capitoli On-Line. Nel primo viene affrontato il problema della risoluzione delle equazioni algebriche di grado qualsiasi e della rappresentazione....

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…il primo coefficiente è positivo quindi il grafico
inizia crescendo

 Equazioni algebriche di grado qualsiasi

E’ questo il terzo capitolo del Tomo B, scritto dal prof. Paolo Sviglia, per il biennio della scuola secondaria superiore.

Vengono presi in esame alcuni problemi relativi alla fattorizzazione di un polinomio e, dopo aver richiamato il teorema fondamentale dell’algebra, fornite indicazioni e suggerimenti per tracciare il diagramma delle funzioni di primo, secondo, terzo e quarto grado.

Particolare attenzione viene prestata al significato espresso dalle radici multiple di un polinomio in relazione alla rappresentazione grafica. Il capitolo si conclude con alcune nozioni di carattere storico tese a ripercorrere le varie tappe dell’algebra TARGET="_top"> BORDER="0" WIDTH="0" HEIGHT="0" NATURALSIZEFLAG="0" ALIGN="BOTTOM">

Commenti dei lettori

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  • umberto esposito

    16 Jan 2010 - 23:00 - #1
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    Sia (En) anx^n+ an-1x^(n-1)+……+a1x +a0 = 0 l’equazione generale di grado n (intero finito) 1, con ai (i=0,…,n) reali non nulli (interi, razionali irrazionali).Se definiamo Intervallo di Gallo l’intervallo IG=[r, s] di estremo inferiore r e di estremo superiore s, con r ed s (reali) tali che r = (a0/a1)^(1/n) ed s = a0^ (1/n), essendo r un valore per difetto ed s un valore per eccesso , rispettivamente di (a0/a1)^(1/n) e di a0^ (1/n), allora è possibile risolvere (senza usare le formule risolutive delle equazioni generali o complete di gradi n=1, 2 o le formule di Cardano (n=3) o di Ferrari (n=4) ) con il cosiddetto Metodo degli intervalli di Gallo ( detto anche Metodo delle Forche Caudine di Gallo) non solo equazioni di grado n=1,2,3,4, ma anche ogni altra equazione generale di grado n (finito)>4. In generale se la (En) ammette soluzioni intere (o razionali), esse sono deducibili dal confronto degli Intervalli di Gallo con i fattori interi ( o razionali) del termine noto T=a0 della (En). Nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina) vengono trattati casi delle equazioni algebriche generali di gradi n=1, 2, 3,4, 5,6 e viene fornita almeno una soluzione reale immediata (soluzione algebrica di Gallo associata ad una formula generale di Gallo non resa nota dall’Autore) delle equazioni algebriche generali di grado n=6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Qui , per brevità, riportiamo la trattazione dei casi n=1,2,3,4,5 fondata sul Metodo degli Intervalli di Gallo.
    Caso n=1 Sia da risolvere la (E1) 3x- 7= 0. Poiché IG=[r, s]= [7/3, 7] l’unica soluzione della (E1) è data da x=7/3 =r, contenuta in IG . Caso n=2 Sia da risolvere la (E2) x^2- 7x +12= 0. Poiché IG=[r, s]= [√ (12/7), √12]= [1, 4] ( dove r è un valore per difetto ed s un valore per eccesso degli estrimi di IG) la prima soluzione della (E2) è x1=4=s e abbassando di grado la (E2) otteniamo l’equazione di primo grado (E1) x-3=0 per cui x2=3 è la seconda soluzione della (E2). Entrambe le soluzioni sono contenute in IG. Caso n=3 Sia da risolvere la (E3) x^3- 61x^2+ 1151x -6851 = 0. Poiché IG= [4, 19], essendo 6851= 1*13*17*31, la prima soluzione della (E3) è x1= 17 (prossima ad s=19), per cui, abbassando di grado la (E3) otteniamo l’equazione di secondo grado (E2) x^2-44x +403=0 per la quale si ha IG=[3, 21], con x2=13 seconda soluzione della (E3), contenuta in IG. Abbassando di grado la (E2) otteniamo infine la (E1) 13 x-31=0 alla quale resta associato l’intervallo di Gallo IG=[ 31/13; 31], cioè x3=31, terza soluzione della (E3), che coincide con l’estremo superio s diIG. Le soluzioni della (E3) sono x1= 17 , x2=13 , x3=31. Caso n=4 Sia da risolvere la (E4) 17 x^4- 479x^3+ 4351x^2 -13129x +218 = 0. Poiché IG= [3, 7] oppure[3/17, 7/17] (poiché il coefficiente di x^4 è ora diverso da 1) essendo 2184=1*3*7*8*13, la prima soluzione della (E4) è x1=7.Abbassando di grado la (E4) otteniamo l’equazione di terzo grado(E3) x^3-360x^2 +1831x -312=0 per la quale si ha IG=[3, 7] oppure [3/17, 7/17]: Si vede subito che x2=3/17=r è la seconda soluzione della (E4), contenuta in IG=[3/17, 7/17], in quanto coincidente con r=3/17. Abbassando di grado la (E3) otteniamo la (E2) 17x^2-357 x +1768=0 per la quale si ha IG=[10, 43] nel quale cade la terza soluzione della (E4) data da x3=13 . Abbassando infine di grado la (E2) otteniamo la (E1) 17x-136=0 alla quale resta associato l’intervallo di Gallo IG==[136/7, 136]= =[8, 136] La quarta soluzione della (E4) x4=8 coincide con l’estremo inferiore r=8 di IG. Le soluzioni della (E4) sono pertanto x1= 17 , x2=3/17 , x3=13 ed x4=8 . Caso n=5 Sia da risolvere l’equazione algebrica completa di quinto grado
    (E5) 17 x^5- 1057x^4+20637 x^3-161063 x^2 +448570x- 74256 = 0. Poiché IG= [5, 10] oppure [5/17, 10/17], risultando T=74256= 1*3*7*8*13*34 si ha che x1=8 (più prossima di 7 ad s) è la prima soluzione di (E5).Abbassando di grado la (E5) otteniamo l’equazione di quarto grado (E4) 17x^4-921x^3 +13269x^2 -54911x +9282=0 per la quale si ha IG=[4, 10] oppure [4/17, 10/17]: Si vede subito che x2=7 è il fattore di T contenuto in IG più prossimo ad r =4 che ad s=10 , per cui 7 è la seconda soluzione della (E5), Abbassando di grado la (E4) otteniamo la (E3) 17x^3-802 x^2 +7655x -1326=0 per la quale si ha IG=[4, 10] oppure [4/17, 10/17] . La terza soluzione di (E5) è x3=3/17 che è prossima ad r=4/17 (x3 è esterna ad IG). Abbassando di grado la (E3) otteniamo la (E2) 17x^2-799x +7514=0 alla quale resta associato l’intervallo di Gallo IG=[21, 86] oppure [21/17, 86/17]. La quarta soluzione della (E5) è x4=34 fattore di T contenuto in IG prossimo ad r=21. Abbassando di grado la (E2)otteniamo infine la (E1) 17x-221=0 per cui IG==[13, 221] oppure =[13/17, 221/17]. La quinta soluzione di (E5) è x5=13=r. Le soluzioni della (E5) sono pertanto x1= 8 , x2=7 , x3=3/17, x4=34 ed x5=13. A cura di U. Esposito