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Matematica, di Angelo Guerraggio

Il testo si rivolge agli studenti che, nei vari corsi di laurea, devono sostenere un esame di Matematica generale o di Istituzioni matematiche o, comunque, di Calcolo.










Queste le principali caratteristiche del volume:

il paradigma seguito è quello dei modelli: si inizia con la presentazione di un problema “concreto” che viene poi ripreso in conclusione, dopo la trattazione matematica vera e propria;
la parte più propriamente matematica viene sviluppata con rigore e chiarezza, cercando di avvicinare progressivamente gli studenti – soprattutto nei primi capitoli – all’uso della terminologia e del for- malismo matematico;
lo stile espositivo vuole essere il più comunicativo possibile, in sintonia con la grafica adottata, l’impiego del colore, la colonna laterale per i richiami, i numerosi esempi, le dimostrazioni dei teoremi (poste alla fine dei capitoli, per non interrompere lo svolgimento del discorso), il riassunto e il test di autovalutazione che chiudono ogni singolo capitolo;
i richiami storici intendono alleggerire la “tensione” del ragionamento matematico; vogliono, però, anche avvicinare lo studente all’interesse per la dimensione storica, comunicandogli l’importanza del “contesto” per lo sviluppo del pensiero matematico.
L’obiettivo è contribuire – anche attraverso un corso del primo anno – a togliere alla Matematica la fama di essere “la meno amata dagli italiani”. L’up and down delle riforme può portare a un suo ridimensionamento in termini di ore e crediti ma non a un ridimensionamento della percezione della sua utilità e del suo valore culturale.





INDICE 
I. I modelli matematici
II. Funzioni e insiemi numerici
1. Introduzione
2. Quel che è opportuno ricordare della teoria degli insiemi
3. Il concetto di funzione
4. Il concetto di funzione inversa (e di funzione composta)
5. Gli insiemi numerici N, Z, Q, R
6. I grafici delle funzioni reali di variabile reale
Test di autovalutazione
III. Le funzioni elementari
1. Funzioni crescenti e decrescenti
2. Funzioni convesse e concave
3. Funzioni pari e dispari
4. Le funzioni lineari
5. La funzione quadrato
6. Dopo le rette e le parabole: le iperboli
7. Le funzioni potenza: quando l’esponente è intero (e positivo)
8. Le funzioni potenza: quando l’esponente è frazionario (e positivo)
9. La funzione esponenziale
10. La funzione logaritmica
11. Le funzioni trigonometriche
Test di autovalutazione
IV. Qualche approfondimento. Le funzioni quasi elementari
1. Introduzione
2. Entra in scena l’infinito
3. Estremo superiore e inferiore
4. Valore assoluto (o modulo) di un numero reale
5. Gli intorni di un numero reale
6. Funzioni quasi elementari
Test di autovalutazione
V. Una parentesi discreta
1. Le successioni sono funzioni definite su N
2. Insiemi finiti e calcolo combinatorio
3. Le successioni come insiemi infiniti e numerabili
4. Gli insiemi più che numerabili
5. Appendice: le dimostrazioni
Test di autovalutazione
VI. La definizione di limite
1. Una definizione informale
2. Una definizione unitaria
3. Dal generale al particolare
4. Limite destro e limite sinistro. Limite per difetto e per eccesso
5. Limiti di successioni
6. Esistenza e unicità del limite
7. Appendice: le dimostrazioni
Test di autovalutazione
VII. Le funzioni continue e il calcolo dei limiti
1. Funzioni continue
2. Proprietà delle funzioni continue definite su un insieme chiuso e limitato
3. Il teorema sulle operazioni con i limiti e le forme di indecisione
4. Infiniti e infinitesimi
5. Il simbolo o
6. Appendice: le dimostrazioni
Test di autovalutazione
VIII. Le derivate
1. Introduzione
2. La definizione di derivata
3. Significato geometrico della derivata
4. Il rapporto incrementale e la derivata in Economia
5. Il calcolo delle derivate
6. Derivabilità e continuità
7. Derivate successive
8. Elasticità di una funzione
9. Appendice: le dimostrazioni
Test di autovalutazione
IX. Le derivate vengono usate per…
1. Introduzione
2. Teoremi di Rolle e Lagrange
3. I teoremi di De L’Hôpital
4. Il teorema di Taylor
5. Il calcolo dei limiti: le forme di indecisione
6. Ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione
7. Problemi di ottimo
8. Convessità e concavità di una funzione. Punti di flesso
9. Lo studio di funzione
10. Appendice: le dimostrazioni
Test di autovalutazione
X. Si torna indietro
1. Le anti-derivate
2. Le anti-derivate immediate
3. Le anti-derivate quasi immediate
4. Le anti-derivate delle funzioni f(x) = P1(x)/P2(x)
5. Integrazione per parti
6. Integrazione per sostituzione
7. Appendice: le dimostrazioni
Test di autovalutazione
XI. L’integrale definito
1. Introduzione
2. La costruzione e la definizione dell’integrale definito
3. Le proprietà dell’integrale definito
4. Ma quando esiste l’integrale definito di una funzione?
5. Il calcolo di un integrale definito
6. Gli integrali generalizzati (o impropri)
7. Appendice: le dimostrazioni
Test di autovalutazione
XII. Le serie
1. Achille e la tartaruga
2. Il risultato è finito o infinito?
3. Due serie importanti
4. Un primo filtro
5. Le serie a termini positivi
6. I criteri per le serie a termini positivi
7. Serie con termini di segno alternato
8. Appendice : le dimostrazioni
Test di autovalutazione
XIII. Il tempo
1. Introduzione
2. Le equazioni differenziali. Un’introduzione
3. Equazioni lineari e a variabili separabili
4. Equazione alle differenze
5. Appendice : le dimostrazioni
Test di autovalutazione
XIV. Funzioni di due variabili
1. Introduzione
2. Le funzioni continue
3. Le derivate parziali
4. Massimi e minimi liberi
5. Massimi e minimi vincolati
6. Massimi e minimi in una regione
7. Un’introduzione alla programmazione lineare
Test di autovalutazione
XV. I vettori di Rn
1. L’insieme Rn
2. Lo spazio vettoriale Rn
3. La struttura metrica di Rn
Test di autovalutazione
XVI. Matrici, sistemi e trasformazioni lineari
1. Introduzione
2. Che cos’è una matrice?
3. Il determinante di una matrice quadrata
4. Matrici inverse
5. Rango di una matrice
6. I sistemi di equazioni lineari
7. Le trasformazioni lineari
8. Appendice : le dimostrazioni
Test di autovalutazione
XVII. Le funzioni di n variabili
1. Introduzione
2. Le funzioni continue
3. Le derivate parziali
4. Funzioni differenziabili
5. Derivate e differenziali di ordine superiore
6. Massimi e minimi liberi
7. Massimi e minimi vincolati
8. Appendice : le dimostrazioni
Test di autovalutazione